Download de arquivos dentro do app

Ola pessoal,
sou iniciante em android e gostaria de uma ajuda.

O cenário é o seguinte:
estou desenvolvendo um app que simplesmente carrega um site da web fullscreen no app.
Porém quando clico no link de download de arquivo, o link é aberto fora do app no chrome.
Queria que o download fosse feito dentro do app, seja com um alert, ou barra de progresso do download.
Alguem pode me ajudar?

segue o codigo:

import android.app.Activity;
import android.app.AlertDialog;
import android.content.Context;
import android.content.DialogInterface;
import android.graphics.Bitmap;
import android.net.ConnectivityManager;
import android.os.Bundle;
import android.view.KeyEvent;
import android.view.Window;
import android.view.WindowManager;
import android.webkit.WebChromeClient; //aadd
import android.webkit.WebView;
import android.webkit.WebViewClient;
import android.webkit.DownloadListener; //aadd
import android.content.Intent; //aadd
import android.net.Uri; //add

public class Main extends Activity {

public boolean onKeyDown(int keyCode, KeyEvent event){
    WebView web = (WebView)findViewById(R.id.webSite);
    if(keyCode == KeyEvent.KEYCODE_BACK && web.canGoBack()){
        web.goBack();
        return true;
    }else{
        getApplication().onTerminate();
        return false;
    }
}

@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
    super.onCreate(savedInstanceState);
    getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);
    requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);
    //setTitle("IC");
    setContentView(R.layout.activity_main);
    if(conectado()){
        WebView web = (WebView)findViewById(R.id.webSite);
        web.clearCache(true);
        //web.getSettings().setBuiltInZoomControls(true);
        //web.getSettings().setSupportZoom(true);
        web.setWebViewClient(new ClientWeb());
        web.getSettings().setJavaScriptEnabled(true);
        web.getSettings().setDomStorageEnabled(true);//add
        web.getSettings().setJavaScriptCanOpenWindowsAutomatically(true);//add
        web.setWebChromeClient(new WebChromeClient());//add
        web.addJavascriptInterface(this, "Exemplo");//add
        web.getSettings().setDatabaseEnabled(true);//add
        web.getSettings().setDomStorageEnabled(true);//add
        web.getSettings().setAllowFileAccess(true);//add
        web.getSettings().setAllowContentAccess(true);//add
        web.getSettings().setAllowFileAccess(true);//add

        web.setDownloadListener(new DownloadListener() {
            @Override
            public void onDownloadStart(String url, String userAgent,
                                        String contentDisposition, String mimetype,
                                        long contentLength) {

                startActivity(new Intent(Intent.ACTION_VIEW, Uri.parse(url)));
            }
        });



        web.loadUrl("AQUI COLOCO A URL");